高次モーメントと高次キュムラント，そして多変量キュムラント

　高次モーメント(積率)は特性関数(あるいは積率母関数)をマクローリン展開することで得られ，テイラー展開したときの形(a点周りのモーメント)がいわゆる中心モーメントを意味するのではないだろうかと思い調べてみた．
　確率密度関数の逆フーリエ変換した関数(確率密度分布と特性関数はフーリエ・逆フーリエの関係)である特性関数(あるいは積率母関数)をマクローリン展開することで，n次モーメント，テイラー展開することでa点周りのn次中心モーメントを求めることが出来る．そして，これらを対数を取ったものをキュムラント母関数といい，これらの展開級数κをキュムラントと云う．キュムラントとモーメントの関係式は，特に中心モーメントを考えた場合，1次〜3次キュムラントが，1次〜3次中心モーメントと一致する．そして，1次中心モーメントが平均，2次中心モーメントが分散，3次中心モーメントが歪度，4次が尖度を意味する．
　そして，多変量キュムラントを求めたい場合，各変数に対応するオペレータを適用することで，高次キュムラントを多変量キュムラントへ拡張することが出来，また高次キュムラントと高次中心モーメントの対応式から，高次モーメントを多変量に拡張してやることで，多変量キュムラントの値を一意に求めることが出来る．そして，多変量キュムラントは高次自己相関係数の値に一致するらしい．多変量キュムラントを求めることで，高次自己相関係数を得ることが出来るようだ．ただし，偏微分によって次数を変量へ拡張していくわけだから，指数的に計算量が増える嫌いがある．